গুরুত্বপূর্ণ অঙ্ক - কোচিং নোট

স্যারের দেখানো প্রশ্ন ও সমাধান | গণিত, নবম শ্রেণি (ভোকেশনাল) | পরীক্ষা: সোমবার, ৯ নভেম্বর ২০২৬

১. √7 অমূলদ - প্রমাণ

প্রমাণ করো যে, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা সমাধান: ধরি, √7 একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে √7 = p/q লেখা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। বা, (√7)² = (p/q)² বা, 7 = p²/q² বা, 7q = p²/q এখানে 7q একটি পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু p²/q একটি ভগ্নাংশ। তাই 7q-এর মান p²/q-এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 7q ≠ p²/q। ∴ √7 একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

২. মান নির্ণয়: 8ab(a² + b²)

a + b = √3 এবং a - b = √2 হলে, 8ab(a² + b²) = কত? সমাধান: আমরা জানি, 4ab = (a + b)² - (a - b)² এবং 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)² তাহলে, 8ab(a² + b²) = {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²} = {(√3)² - (√2)²} × {(√3)² + (√2)²} = (3 - 2) × (3 + 2) = 1 × 5 = 5 (Ans.)

৩. sinθ ও tanθ - প্রমাণ

sinθ + tanθ = p এবং sinθ - tanθ = q হলে, প্রমাণ করো যে, p² - q² = 4√(pq) সমাধান: বামপক্ষ = p² - q² = (sinθ + tanθ)² - (sinθ - tanθ)² = 4 sinθ tanθ = 4√(sin²θ - tan²θ) আবার, pq = (sinθ + tanθ)(sinθ - tanθ) = sin²θ - tan²θ ∴ বামপক্ষ = 4√(pq) = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

৪. উপপাদ্য: কোণের সমদ্বিখণ্ডক

ত্রিভুজ ABC-এর কোণ B ও কোণ C-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে, প্রমাণ করো যে, কোণ BOC = 90° + ½ কোণ A প্রমাণ: ত্রিভুজ ABC-এ, কোণ A + কোণ B + কোণ C = 180° ......... (i) আবার, ত্রিভুজ BOC-এ কোণ OBC = ½ কোণ B এবং কোণ OCB = ½ কোণ C, তাই কোণ BOC + ½ কোণ B + ½ কোণ C = 180° বা, কোণ BOC = 180° - ½(কোণ B + কোণ C) বা, কোণ BOC = 180° - ½(180° - কোণ A) [(i) থেকে] ∴ কোণ BOC = 90° + ½ কোণ A (প্রমাণিত)

৫. উপপাদ্য: মধ্যমা ও বাহুর সম্পর্ক

ত্রিভুজ ABC-এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D হলে, প্রমাণ করো যে, AB + AC > 2AD অঙ্কন: AD-কে E পর্যন্ত বাড়াই যেন DE = AD হয়। C, E যোগ করি। প্রমাণ: ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ ECD-এর মধ্যে BD = CD (D মধ্যবিন্দু), AD = DE (অঙ্কন অনুসারে) এবং বিপ্রতীপ কোণ ADB = কোণ EDC। ∴ ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ ECD সর্বসম, কাজেই AB = CE। এখন ত্রিভুজ AEC-এ ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর, তাই AC + CE > AE, বা, AC + AB > AD + DE = 2AD ∴ AB + AC > 2AD (প্রমাণিত)

৬. সমকোণী ত্রিভুজ: AB = 2BC

চিত্রে কোণ C = এক সমকোণ এবং কোণ B = 2 কোণ A। প্রমাণ করো যে, AB = 2BC প্রমাণ: কোণ A + কোণ B = 90° এবং কোণ B = 2 কোণ A, তাই 3 কোণ A = 90°, অর্থাৎ কোণ A = 30° ও কোণ B = 60°। অতিভুজ AB-এর মধ্যবিন্দু D নিই এবং C, D যোগ করি। সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের মধ্যবিন্দু থেকে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব অতিভুজের অর্ধেক, তাই CD = AD = BD = ½AB। ত্রিভুজ ACD-এ CD = AD, তাই কোণ ACD = কোণ A = 30°। ফলে বহিঃস্থ কোণ CDB = কোণ A + কোণ ACD = 60° = কোণ B, অর্থাৎ ত্রিভুজ BCD সমবাহু। ∴ BC = BD = ½AB, অর্থাৎ AB = 2BC (প্রমাণিত)

৭. সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা

ত্রিভুজ ABC সমবাহু এবং AD, BE, CF এর তিনটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, AD = BE = CF এবং মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করে পাওয়া ত্রিভুজ DEF সমবাহু। প্রমাণ: ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ BCE-এর মধ্যে AB = BC (সমবাহু), BD = CE (প্রতিটি নিজ নিজ বাহুর অর্ধেক) এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ ABD = কোণ BCE = 60°। ∴ ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ BCE সর্বসম, কাজেই AD = BE। একইভাবে BE = CF। সুতরাং AD = BE = CF। আবার মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী EF = ½BC, FD = ½CA, DE = ½AB। যেহেতু AB = BC = CA, তাই EF = FD = DE। ∴ ত্রিভুজ DEF সমবাহু। (প্রমাণিত)

৮. বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি

প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর। প্রমাণ: ত্রিভুজ ABC-এর B ও C বিন্দুতে বহিঃস্থ কোণ দুইটি যথাক্রমে কোণ ABE ও কোণ ACF ধরি। বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান, তাই কোণ ABE = কোণ A + কোণ C এবং কোণ ACF = কোণ A + কোণ B যোগ করে, কোণ ABE + কোণ ACF = 2 কোণ A + কোণ B + কোণ C = কোণ A + 180° ∴ কোণ ABE + কোণ ACF > 180°, অর্থাৎ দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর। (প্রমাণিত)

৯. সম্পাদ্য: ভূমি, কোণ ও বাহুর সমষ্টি

সম্পাদ্য: মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ x এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন: (১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে ভূমি a-এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই। BC রেখাংশের B বিন্দুতে কোণ x-এর সমান কোণ CBF আঁকি। (২) BF রশ্মি থেকে s-এর সমান BD অংশ কাটি। (৩) C, D যোগ করি। C বিন্দুতে DC রেখাংশের যে পাশে B বিন্দু আছে, সেই পাশে কোণ BDC-এর সমান কোণ DCG আঁকি। (৪) CG রশ্মি BD-কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ত্রিভুজ ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রমাণ: ত্রিভুজ ACD-এ কোণ ADC = কোণ ACD (অঙ্কন অনুসারে), সুতরাং AC = AD। এখন ত্রিভুজ ABC-এ কোণ ABC = কোণ x, BC = a (অঙ্কন অনুসারে) এবং BA + AC = BA + AD = BD = s। অতএব, ত্রিভুজ ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

১০. সম্পাদ্য: ভূমি, সূক্ষ্মকোণ ও বাহুর অন্তর

সম্পাদ্য: মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, ভূমিসংলগ্ন একটি সূক্ষ্মকোণ x এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন: (১) যেকোনো রশ্মি BF থেকে ভূমি a-এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই। BC-এর B বিন্দুতে কোণ x-এর সমান কোণ CBF আঁকি। (২) BF রশ্মি থেকে d-এর সমান BD অংশ কেটে নিই। (৩) C, D যোগ করি। DC রেখাংশের যে পাশে E বিন্দু আছে, সেই পাশে C বিন্দুতে কোণ EDC-এর সমান কোণ DCA আঁকি। CA রশ্মি BF-কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ত্রিভুজ ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে ত্রিভুজ ACD-এ কোণ ACD = কোণ ADC, সুতরাং AC = AD। সুতরাং দুই বাহুর অন্তর, AB - AC = AB - AD = BD = d। এখন ত্রিভুজ ABC-এ BC = a, AB - AC = d এবং কোণ ABC = কোণ x। সুতরাং, ত্রিভুজ ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

১১. সম্পাদ্য: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা

সম্পাদ্য: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা p দেওয়া আছে। সমবাহু ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: (১) যেকোনো রশ্মি DF থেকে DE = p কেটে নিই। DE-কে P ও Q বিন্দুতে সমান তিন ভাগে ভাগ করি। সুতরাং DP = PQ = QE। (২) যেকোনো রশ্মি BH থেকে BC = DP কেটে নিই। (৩) B ও C-কে কেন্দ্র করে DP-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC-এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। মনে করি, বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে। (৪) A, B ও A, C যোগ করি। তাহলে, ত্রিভুজ ABC-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

১২. লগারিদম: x-এর মান নির্ণয়

প্রশ্ন: x-এর মান নির্ণয় করো:
(ক) log₁₀ x = −2
(খ) logₓ 324 = 4

সমাধান:
(ক) log₁₀ x = −2
∴ x = 10⁻² = 1/10²
বা, x = 1/100 = 0.01
∴ x = 0.01 (Ans.)

(খ) logₓ 324 = 4
∴ x⁴ = 324 = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2 = 3⁴ × 2²
বা, x⁴ = 3⁴ × (√2)⁴
বা, x⁴ = (3√2)⁴
∴ x = 3√2 (Ans.)

১৩. সরল করো (লগারিদম)

প্রশ্ন: সরল করো:
(ক) 7 log₁₀(10/9) − 2 log₁₀(25/24) + 3 log₁₀(81/80)
(খ) log₇(⁵√7 · √7) − log₃(³√3) + log₄ 2
(গ) logₑ(a³b³/c³) + logₑ(b³c³/d³) + logₑ(c³d³/a³) − 3 logₑ(b²c)

সমাধান:
(ক) = log₁₀(10/9)⁷ − log₁₀(25/24)² + log₁₀(81/80)³
= log₁₀{ (10⁷ × 81³ × 24²) / (9⁷ × 25² × 80³) }
= log₁₀{ (2⁷ × 5⁷ × 3¹² × 2⁶ × 3²) / (3¹⁴ × 5⁴ × 2¹² × 5³) }
= log₁₀ 2 (Ans.)

(খ) = log₇(7^(1/5) · 7^(1/2)) − log₃(3^(1/3)) + 1/2
= (1/5 + 1/2) − 1/3 + 1/2
= 7/10 − 1/3 + 1/2
= 13/15 (Ans.)

(গ) = logₑ{ (a³b³/c³) · (b³c³/d³) · (c³d³/a³) } − logₑ(b²c)³
= logₑ(b⁶c³) − logₑ(b⁶c³)
= logₑ 1 = 0 (Ans.)

১৪. সরল মুনাফা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক 7 টাকা হার সরল মুনাফায় 650 টাকার 6 বছরের মুনাফা কত?

সমাধান: আমরা জানি, I = Pnr
এখানে, P = 650 টাকা, n = 6 বছর, শতকরা মুনাফার হার s = 7 টাকা
∴ r = s/100 = 7/100
∴ I = 650 × 6 × 7/100 = 273
সুতরাং, মুনাফা 273 টাকা। (Ans.)

১৫. মান নির্ণয়: বর্গমূলের গুণ

প্রশ্ন: মান নির্ণয় করো: √(x⁻¹y) · √(y⁻¹z) · √(z⁻¹x), (x > 0, y > 0, z > 0)

সমাধান: √(x⁻¹y) · √(y⁻¹z) · √(z⁻¹x)
= (x⁻¹y)^(1/2) · (y⁻¹z)^(1/2) · (z⁻¹x)^(1/2)
= (x⁻¹y · y⁻¹z · z⁻¹x)^(1/2)
= (x^(−1+1) · y^(1−1) · z^(1−1))^(1/2)
= (x⁰ · y⁰ · z⁰)^(1/2)
= (1 × 1 × 1)^(1/2) = 1 (Ans.)

১৬. দেখাও যে, xyz = 1

প্রশ্ন: যদি aˣ = b, bʸ = c এবং cᶻ = a হয়, তবে দেখাও যে, xyz = 1

সমাধান: দেওয়া আছে,
aˣ = b, bʸ = c, cᶻ = a
এখন, cᶻ = a
বা, (bʸ)ᶻ = a [∵ bʸ = c]
বা, bʸᶻ = a
বা, (aˣ)ʸᶻ = a [∵ aˣ = b]
বা, aˣʸᶻ = a¹
∴ xyz = 1 [∵ aˣ = aʸ হলে x = y, যখন a > 0, a ≠ 1] (দেখানো হলো)

১৭. উপপাদ্য: ত্রিভুজের অভ্যন্তরে বিন্দু

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-এর অভ্যন্তরে D একটি বিন্দু। প্রমাণ করো যে, AB + AC > BD + DC

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ত্রিভুজ ABC-এর অভ্যন্তরে D যেকোনো একটি বিন্দু। B, D এবং C, D যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, AB + AC > BD + CD
অঙ্কন: BD-কে বর্ধিত করি। উহা AC-কে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: ত্রিভুজ ABE-এ AB + AE > BE
বা, AB + AE > BD + DE …… (i)
আবার, ত্রিভুজ CDE-এ CE + DE > CD …… (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
AB + AE + CE + DE > BD + DE + CD
উভয় পক্ষ হতে DE বাদ দিয়ে পাই,
AB + AE + CE > BD + CD
বা, AB + AC > BD + CD [∵ AE + CE = AC] (প্রমাণিত)

উৎস: ২০২৬-১১-০৮ তারিখে কোচিংয়ে স্যারের দেখানো খাতা ও গাইডের ছবি থেকে সাজানো।