গুরুত্বপূর্ণ অঙ্ক - কোচিং নোট

প্রমাণ করো যে, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা সমাধান: ধরি, √7 একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে √7 = p/q লেখা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। বা, (√7)² = (p/q)² বা, 7 = p²/q² বা, 7q = p²/q এখানে 7q একটি পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু p²/q একটি ভগ্নাংশ। তাই 7q-এর মান p²/q-এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 7q ≠ p²/q। ∴ √7 একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

a + b = √3 এবং a - b = √2 হলে, 8ab(a² + b²) = কত? সমাধান: আমরা জানি, 4ab = (a + b)² - (a - b)² এবং 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)² তাহলে, 8ab(a² + b²) = {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²} = {(√3)² - (√2)²} × {(√3)² + (√2)²} = (3 - 2) × (3 + 2) = 1 × 5 = 5 (Ans.)

sinθ + tanθ = p এবং sinθ - tanθ = q হলে, প্রমাণ করো যে, p² - q² = 4√(pq) সমাধান: বামপক্ষ = p² - q² = (sinθ + tanθ)² - (sinθ - tanθ)² = 4 sinθ tanθ = 4√(sin²θ - tan²θ) আবার, pq = (sinθ + tanθ)(sinθ - tanθ) = sin²θ - tan²θ ∴ বামপক্ষ = 4√(pq) = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

ত্রিভুজ ABC-এর কোণ B ও কোণ C-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে, প্রমাণ করো যে, কোণ BOC = 90° + ½ কোণ A প্রমাণ: ত্রিভুজ ABC-এ, কোণ A + কোণ B + কোণ C = 180° ......... (i) আবার, ত্রিভুজ BOC-এ কোণ OBC = ½ কোণ B এবং কোণ OCB = ½ কোণ C, তাই কোণ BOC + ½ কোণ B + ½ কোণ C = 180° বা, কোণ BOC = 180° - ½(কোণ B + কোণ C) বা, কোণ BOC = 180° - ½(180° - কোণ A) [(i) থেকে] ∴ কোণ BOC = 90° + ½ কোণ A (প্রমাণিত)

ত্রিভুজ ABC-এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D হলে, প্রমাণ করো যে, AB + AC > 2AD অঙ্কন: AD-কে E পর্যন্ত বাড়াই যেন DE = AD হয়। C, E যোগ করি। প্রমাণ: ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ ECD-এর মধ্যে BD = CD (D মধ্যবিন্দু), AD = DE (অঙ্কন অনুসারে) এবং বিপ্রতীপ কোণ ADB = কোণ EDC। ∴ ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ ECD সর্বসম, কাজেই AB = CE। এখন ত্রিভুজ AEC-এ ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর, তাই AC + CE > AE, বা, AC + AB > AD + DE = 2AD ∴ AB + AC > 2AD (প্রমাণিত)

চিত্রে কোণ C = এক সমকোণ এবং কোণ B = 2 কোণ A। প্রমাণ করো যে, AB = 2BC প্রমাণ: কোণ A + কোণ B = 90° এবং কোণ B = 2 কোণ A, তাই 3 কোণ A = 90°, অর্থাৎ কোণ A = 30° ও কোণ B = 60°। অতিভুজ AB-এর মধ্যবিন্দু D নিই এবং C, D যোগ করি। সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের মধ্যবিন্দু থেকে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব অতিভুজের অর্ধেক, তাই CD = AD = BD = ½AB। ত্রিভুজ ACD-এ CD = AD, তাই কোণ ACD = কোণ A = 30°। ফলে বহিঃস্থ কোণ CDB = কোণ A + কোণ ACD = 60° = কোণ B, অর্থাৎ ত্রিভুজ BCD সমবাহু। ∴ BC = BD = ½AB, অর্থাৎ AB = 2BC (প্রমাণিত)

ত্রিভুজ ABC সমবাহু এবং AD, BE, CF এর তিনটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, AD = BE = CF এবং মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করে পাওয়া ত্রিভুজ DEF সমবাহু। প্রমাণ: ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ BCE-এর মধ্যে AB = BC (সমবাহু), BD = CE (প্রতিটি নিজ নিজ বাহুর অর্ধেক) এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ ABD = কোণ BCE = 60°। ∴ ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ BCE সর্বসম, কাজেই AD = BE। একইভাবে BE = CF। সুতরাং AD = BE = CF। আবার মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী EF = ½BC, FD = ½CA, DE = ½AB। যেহেতু AB = BC = CA, তাই EF = FD = DE। ∴ ত্রিভুজ DEF সমবাহু। (প্রমাণিত)

প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর। প্রমাণ: ত্রিভুজ ABC-এর B ও C বিন্দুতে বহিঃস্থ কোণ দুইটি যথাক্রমে কোণ ABE ও কোণ ACF ধরি। বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান, তাই কোণ ABE = কোণ A + কোণ C এবং কোণ ACF = কোণ A + কোণ B যোগ করে, কোণ ABE + কোণ ACF = 2 কোণ A + কোণ B + কোণ C = কোণ A + 180° ∴ কোণ ABE + কোণ ACF > 180°, অর্থাৎ দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর। (প্রমাণিত)

সম্পাদ্য: মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ x এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন: (১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে ভূমি a-এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই। BC রেখাংশের B বিন্দুতে কোণ x-এর সমান কোণ CBF আঁকি। (২) BF রশ্মি থেকে s-এর সমান BD অংশ কাটি। (৩) C, D যোগ করি। C বিন্দুতে DC রেখাংশের যে পাশে B বিন্দু আছে, সেই পাশে কোণ BDC-এর সমান কোণ DCG আঁকি। (৪) CG রশ্মি BD-কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ত্রিভুজ ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রমাণ: ত্রিভুজ ACD-এ কোণ ADC = কোণ ACD (অঙ্কন অনুসারে), সুতরাং AC = AD। এখন ত্রিভুজ ABC-এ কোণ ABC = কোণ x, BC = a (অঙ্কন অনুসারে) এবং BA + AC = BA + AD = BD = s। অতএব, ত্রিভুজ ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

সম্পাদ্য: মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, ভূমিসংলগ্ন একটি সূক্ষ্মকোণ x এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন: (১) যেকোনো রশ্মি BF থেকে ভূমি a-এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই। BC-এর B বিন্দুতে কোণ x-এর সমান কোণ CBF আঁকি। (২) BF রশ্মি থেকে d-এর সমান BD অংশ কেটে নিই। (৩) C, D যোগ করি। DC রেখাংশের যে পাশে E বিন্দু আছে, সেই পাশে C বিন্দুতে কোণ EDC-এর সমান কোণ DCA আঁকি। CA রশ্মি BF-কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ত্রিভুজ ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে ত্রিভুজ ACD-এ কোণ ACD = কোণ ADC, সুতরাং AC = AD। সুতরাং দুই বাহুর অন্তর, AB - AC = AB - AD = BD = d। এখন ত্রিভুজ ABC-এ BC = a, AB - AC = d এবং কোণ ABC = কোণ x। সুতরাং, ত্রিভুজ ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

সম্পাদ্য: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা p দেওয়া আছে। সমবাহু ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: (১) যেকোনো রশ্মি DF থেকে DE = p কেটে নিই। DE-কে P ও Q বিন্দুতে সমান তিন ভাগে ভাগ করি। সুতরাং DP = PQ = QE। (২) যেকোনো রশ্মি BH থেকে BC = DP কেটে নিই। (৩) B ও C-কে কেন্দ্র করে DP-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC-এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। মনে করি, বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে। (৪) A, B ও A, C যোগ করি। তাহলে, ত্রিভুজ ABC-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।